Упр.133 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. Случайным образом выбираем натуральное число от 1 до 24. Событие С — «число чётное». Являются ли события С и D независимыми, если событие D состоит в том, что: а) выбранное число делится на 3; б) выбранное число делится на 7?

Два события $$A$$ и $$B$$ называются независимыми, если

$$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B).$$

Решение

Рассмотрим все натуральные числа от $$1$$ до $$24$$. Всего равновозможных исходов $$24$$.

1. Событие $$C$$ — «число чётное», событие $$D$$ — «число делится на $$3$$».

   Тогда

   $$C=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24\},$$

   $$D=\{3,6,9,12,15,18,21,24\},$$

   $$C \cap D=\{6,12,18,24\}.$$

   Найдём вероятности:

   $$P(C)=\frac{12}{24}=\frac12,\qquad P(D)=\frac{8}{24}=\frac13,\qquad P(C \cap D)=\frac{4}{24}=\frac16.$$

   Проверим условие независимости:

   $$P(C)\cdot P(D)=\frac12\cdot\frac13=\frac16.$$

   Так как $$P(C \cap D)=P(C)\cdot P(D),$$ события $$C$$ и $$D$$ независимы.

2. Событие $$C$$ — «число чётное», событие $$D$$ — «число делится на $$7$$».

   Тогда

   $$D=\{7,14,21\},$$

   $$C \cap D=\{14\}.$$

   Найдём вероятности:

   $$P(C)=\frac{12}{24}=\frac12,\qquad P(D)=\frac{3}{24}=\frac18,\qquad P(C \cap D)=\frac{1}{24}.$$

   Проверим условие независимости:

   $$P(C)\cdot P(D)=\frac12\cdot\frac18=\frac{1}{16}.$$

   Так как $$P(C \cap D)\ne P(C)\cdot P(D),$$ события $$C$$ и $$D$$ не являются независимыми.

Ответ

а) да; б) нет.