Упр.243 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

а) ровно на 3 досках; в) хотя бы на 1 доске;
б) ровно на 5 досках; г) по крайней мере на 2 досках.

Вероятность того, что в одной партии Остап Бендер будет играть белыми, равна $$p=\frac12,$$ а чёрными — $$q=\frac12.$$

На 12 досках число партий, где он играет белыми, имеет биномиальное распределение. Поэтому

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k}.$$

1. Ровно на 3 досках:

   $$P_{12}(3)=C_{12}^3\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^9=C_{12}^3\left(\frac12\right)^{12}.$$

   $$P_{12}(3)=\frac{12!}{3!\,9!}\cdot\frac{1}{2^{12}}=\frac{220}{4096}=\frac{55}{1024}\approx 0{,}054.$$

2. Ровно на 5 досках:

   $$P_{12}(5)=C_{12}^5\left(\frac12\right)^5\left(\frac12\right)^7=C_{12}^5\left(\frac12\right)^{12}.$$

   $$P_{12}(5)=\frac{12!}{5!\,7!}\cdot\frac{1}{2^{12}}=\frac{792}{4096}=\frac{99}{512}\approx 0{,}193.$$

3. Хотя бы на 1 доске:

   Удобнее найти вероятность противоположного события — что он не будет играть белыми ни на одной доске:

   $$P(0)=\left(\frac12\right)^{12}=\frac{1}{4096}\approx 0{,}0002.$$

   Тогда

   $$P(\ge 1)=1-\frac{1}{4096}=\frac{4095}{4096}\approx 0{,}9998.$$

4. По крайней мере на 2 досках:

   Найдём вероятность противоположного события: белыми он играет не более чем на 1 доске.

   $$P(0)+P(1)=\left(\frac12\right)^{12}+C_{12}^1\left(\frac12\right)^1\left(\frac12\right)^{11}$$

   $$=\frac{1}{4096}+\frac{12}{4096}=\frac{13}{4096}\approx 0{,}0032.$$

   Тогда

   $$P(\ge 2)=1-\frac{13}{4096}=\frac{4083}{4096}\approx 0{,}997.$$

Ответ

а) $$0{,}054$$; б) $$0{,}193$$; в) $$0{,}9998$$; г) $$0{,}997$$.