Упр.18 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

а) 4 вершины степени 3 и 6 вершин степени 1;
б) 2 вершины степени 4, 2 вершины степени 3 и 8 вершин степени 1.

Используем свойство дерева: сумма степеней всех его вершин равна $$2(n-1),$$ где $$n$$ — число вершин.

а) Пусть в дереве есть 4 вершины степени 3 и 6 вершин степени 1. Тогда сумма степеней равна

$$4\cdot 3+6\cdot 1=12+6=18.$$

Число вершин:

$$n=4+6=10,$$

и действительно

$$2(n-1)=2\cdot 9=18.$$

Значит, такое дерево существует. Например, можно взять одну вершину степени 3, соединённую с тремя вершинами степени 3, а каждую из них дополнить двумя листьями.

б) Пусть в дереве есть 2 вершины степени 4, 2 вершины степени 3 и 8 вершин степени 1. Тогда сумма степеней равна

$$2\cdot 4+2\cdot 3+8\cdot 1=8+6+8=22.$$

Число вершин:

$$n=2+2+8=12,$$

и

$$2(n-1)=2\cdot 11=22.$$

Следовательно, такое дерево тоже существует. Например, одну вершину степени 4 можно соединить с другой вершиной степени 4, с вершиной степени 3 и с двумя листьями; вторую вершину степени 4 соединить с вершиной степени 3 и ещё с тремя листьями, а вершины степени 3 дополнить листьями.

Ответ

а) Такое дерево существует, например с одной вершиной степени 3, соединённой с тремя вершинами степени 3, и 6 листьями.
б) Такое дерево существует, например с двумя вершинами степени 4, двумя вершинами степени 3 и 8 листьями.