Упр.138 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Высоцкий, Ященко 9 класс, Просвещение: 138. События А и В независимы. Докажите, что независимы события А и ?B.

Так как события А и В независимы, то

$$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B).$$

Представим событие А как объединение несовместных событий:

$$A=(A\cap B)\cup(A\cap \overline{B}).$$

Тогда

$$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B}).$$

Отсюда

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B).$$

Подставим формулу независимости:

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A)\cdot P(B).$$

Вынесем $P(A)$ за скобки:

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)\cdot(1-P(B)).$$

Так как

$$P(\overline{B})=1-P(B),$$

то получаем

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B}).$$

Следовательно, события А и не В независимы.

Ответ

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B}),$$

значит, события $A$ и $\overline{B}$ независимы.