Упр.999 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) 1/(x-8)+1/(x-6)+1/(x+6)+1/(x+8)=0;
б) 3/(x-2)-4/(x-1)=1/(x-4)-2/(x-3).

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{1}{x-8}+\frac{1}{x-6}+\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+8}=0.$$

Объединим дроби попарно:

$$\frac{1}{x-8}+\frac{1}{x+8}+\frac{1}{x-6}+\frac{1}{x+6}=0.$$

Тогда

$$\frac{(x+8)+(x-8)}{(x-8)(x+8)}+\frac{(x+6)+(x-6)}{(x-6)(x+6)}=0,$$

$$\frac{2x}{x^2-64}+\frac{2x}{x^2-36}=0.$$

Умножим на $$(x^2-64)(x^2-36)$$:

$$2x(x^2-36)+2x(x^2-64)=0,$$

$$2x\bigl((x^2-36)+(x^2-64)\bigr)=0,$$

$$2x(2x^2-100)=0,$$

$$2x(x^2-50)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x^2=50,$$

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\pm 5\sqrt{2}.$$

Все найденные значения допустимы.

б) Решим уравнение

$$\frac{3}{x-2}-\frac{4}{x-1}=\frac{1}{x-4}-\frac{2}{x-3}.$$

Перенесём дроби так, чтобы сгруппировать удобнее:

$$\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x-3}=\frac{1}{x-4}+\frac{4}{x-1}.$$

Приведём к общим знаменателям:

$$\frac{3(x-3)+2(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{(x-1)+4(x-4)}{(x-4)(x-1)}.$$

Тогда

$$\frac{5x-13}{x^2-5x+6}=\frac{5x-17}{x^2-5x+4}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$\left(5x-13\right)\left(x^2-5x+4\right)=\left(5x-17\right)\left(x^2-5x+6\right).$$

Раскроем скобки и упростим:

$$5x^3-38x^2+85x-52=5x^3-42x^2+115x-102,$$

$$4x^2-30x+50=0,$$

$$2x^2-15x+25=0.$$

Найдём корни:

$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 25=225-200=25,$$

$$x=\frac{15\pm 5}{4}.$$

Получаем

$$x_1=\frac{10}{4}=2{,}5,\qquad x_2=\frac{20}{4}=5.$$

Оба значения допустимы.

Ответ

а) $$0;\,-5\sqrt{2};\,5\sqrt{2}.$$

б) $$2{,}5;\,5.$$