Упр.997 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\frac{2x^2-3x+x^3}{x^2-2x+1}=0$$; б) $$\frac{x(1-x)}{1+x}=6$$; в) $$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}=\frac{2+x}{x^2-1}$$; г) $$\frac{1}{x+1}+\frac{5}{x-1}=\frac{5+x}{x^2-1}$$.

1. а) $$\frac{2x^2-3x+x^3}{x^2-2x+1}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$2x^2-3x+x^3=0$$

   $$x(x^2+2x-3)=0$$

   $$x(x+3)(x-1)=0$$

   Отсюда $$x=0$$, $$x=-3$$ или $$x=1$$.

   Но знаменатель $$x^2-2x+1=(x-1)^2$$, значит $$x\ne 1$$.

   Следовательно, $$x=-3$$, $$x=0$$.

2. б) $$\frac{x(1-x)}{1+x}=6$$

   ОДЗ: $$x\ne -1$$.

   Умножим обе части на $$1+x$$:

   $$x(1-x)=6(1+x)$$

   $$x-x^2=6+6x$$

   $$x^2+5x+6=0$$

   $$(x+2)(x+3)=0$$

   $$x=-2$$ или $$x=-3$$.

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

3. в) $$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}=\frac{x+2}{x^2-1}$$

   ОДЗ: $$x\ne -1$$, $$x\ne 1$$.

   Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$, умножим уравнение на $$(x-1)(x+1)$$:

   $$x-1+2(x+1)=x+2$$

   $$x-1+2x+2=x+2$$

   $$2x=1$$

   $$x=\frac12$$.

4. г) $$\frac{1}{x+1}+\frac{5}{x-1}=\frac{x+5}{x^2-1}$$

   ОДЗ: $$x\ne -1$$, $$x\ne 1$$.

   Умножим обе части на $$(x-1)(x+1)$$:

   $$x-1+5(x+1)=x+5$$

   $$x-1+5x+5=x+5$$

   $$5x=1$$

   $$x=\frac15$$.

Ответ

а) $$-3,\,0$$; б) $$-3,\,-2$$; в) $$\frac12$$; г) $$\frac15$$.