Упр.992 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) x-4x/(4-x)=16/(x-4); б) 3x/(3-x)+9/(x-3)=x;
в) 1/(x^2-10x+25)+10/(25-x^2)=1/(x+5);
г) 2/(x^2+12x+36)-12/(36-x^2)=1/(x-6).

1. а) $$x-\frac{4x}{4-x}=\frac{16}{x-4}$$

   Так как $$4-x=-(x-4),$$ получаем

   $$x+\frac{4x}{x-4}=\frac{16}{x-4}.$$

   Умножим обе части на $$x-4$$:

   $$x(x-4)+4x=16,$$

   $$x^2-4x+4x=16,$$

   $$x^2=16,$$

   $$x=\pm 4.$$

   ОДЗ: $$x-4\ne 0,$$ то есть $$x\ne 4.$$

   Подходит только $$x=-4.$$

2. б) $$\frac{3x}{3-x}+\frac{9}{x-3}=x$$

   Так как $$3-x=-(x-3),$$ имеем

   $$-\frac{3x}{x-3}+\frac{9}{x-3}=x.$$

   Умножим обе части на $$x-3$$:

   $$-3x+9=x(x-3),$$

   $$-3x+9=x^2-3x,$$

   $$x^2=9,$$

   $$x=\pm 3.$$

   ОДЗ: $$x\ne 3.$$

   Подходит только $$x=-3.$$

3. в) $$\frac{1}{x^2-10x+25}+\frac{10}{25-x^2}=\frac{1}{x+5}$$

   Преобразуем знаменатели:

   $$x^2-10x+25=(x-5)^2,\qquad 25-x^2=-(x-5)(x+5).$$

   Тогда

   $$\frac{1}{(x-5)^2}-\frac{10}{(x-5)(x+5)}=\frac{1}{x+5}.$$

   Умножим обе части на $$ (x+5)(x-5)^2 $$:

   $$x+5-10(x-5)=(x-5)^2,$$

   $$x+5-10x+50=x^2-10x+25,$$

   $$x^2-x-30=0.$$

   $$D=1+120=121,$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 11}{2}.$$

   Получаем $$x_1=-5,$$ $$x_2=6.$$

   ОДЗ: $$x\ne 5,$$ $$x\ne -5.$$

   Значит, подходит только $$x=6.$$

4. г) $$\frac{2}{x^2+12x+36}-\frac{12}{36-x^2}=\frac{1}{x-6}$$

   Преобразуем знаменатели:

   $$x^2+12x+36=(x+6)^2,\qquad 36-x^2=-(x-6)(x+6).$$

   Тогда

   $$\frac{2}{(x+6)^2}+\frac{12}{(x-6)(x+6)}=\frac{1}{x-6}.$$

   Умножим обе части на $$ (x-6)(x+6)^2 $$:

   $$2(x-6)+12(x+6)=(x+6)^2,$$

   $$2x-12+12x+72=x^2+12x+36,$$

   $$x^2-2x-24=0.$$

   $$D=4+96=100,$$

   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2}.$$

   Получаем $$x_1=-4,$$ $$x_2=6.$$

   ОДЗ: $$x\ne -6,$$ $$x\ne 6.$$

   Значит, подходит только $$x=-4.$$

Ответ

а) $$-4$$; б) $$-3$$; в) $$6$$; г) $$-4$$.