Упр.990 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) x(x+1)=|x+1/2|+1/2; б) 6x(x-1)+5|x-1/2|=-5/2;
в) x^2+5|x+2|=-4(x+2); г) x^2+4x=2-|x+2|.

Подробный ответ

а) $$x(x+1)=\left|x+\frac12\right|+\frac12.$$
Преобразуем:
$$x^2+x=\left|x+\frac12\right|+\frac12.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x\ge -\frac12,$$ то $$\left|x+\frac12\right|=x+\frac12.$$ Тогда
$$x^2+x=x+\frac12+\frac12,$$
$$x^2=1,$$
$$x=\pm1.$$
Из условия подходит только $$x=1.$$
2) Если $$x<-\frac12,$$ то $$\left|x+\frac12\right|=-x-\frac12.$$ Тогда
$$x^2+x=-x-\frac12+\frac12,$$
$$x^2+2x=0,$$
$$x(x+2)=0,$$
$$x=-2 \text{ или } x=0.$$
Из условия подходит только $$x=-2.$$
Итак, $$x=-2,\ 1.$$
б) $$6x(x-1)+5\left|x-\frac12\right|=-\frac52.$$
Перенесём:
$$5\left|x-\frac12\right|=-\frac52-6x^2+6x.$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$-\frac52-6x^2+6x\ge 0,$$
$$12x^2-12x+5\le 0.$$
Дискриминант:
$$D=(-12)^2-4\cdot 12\cdot 5=144-240=-96<0.$$
Так как $$a>0,$$ неравенство $$12x^2-12x+5\le 0$$ решений не имеет.
Следовательно, уравнение решений не имеет.
в) $$x^2+5|x+2|=-4(x+2).$$
Перенесём:
$$5|x+2|=-x^2-4x-8.$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$-x^2-4x-8\ge 0,$$
$$x^2+4x+8\le 0.$$
Дискриминант:
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 8=16-32=-16<0.$$
Так как $$a>0,$$ неравенство $$x^2+4x+8\le 0$$ решений не имеет.
Следовательно, уравнение решений не имеет.
г) $$x^2+4x=2-|x+2|.$$
Перенесём:
$$|x+2|=2-x^2-4x.$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$2-x^2-4x\ge 0,$$
$$x^2+4x-2\le 0.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x\ge -2,$$ то $$|x+2|=x+2.$$ Тогда
$$x+2=2-x^2-4x,$$
$$x^2+5x=0,$$
$$x(x+5)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=-5.$$
Из условия подходит только $$x=0.$$
2) Если $$x<-2,$$ то $$|x+2|=-(x+2).$$ Тогда
$$-(x+2)=2-x^2-4x,$$
$$x^2+3x-4=0,$$
$$ (x+4)(x-1)=0,$$
$$x=-4 \text{ или } x=1.$$
Из условия подходит только $$x=-4.$$
Итак, $$x=-4,\ 0.$$