Упр.989 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) (x^2+2)·|2x-1|=0; б) |x^4+1|=x^4+x;
в) |x|=x+2; г) |x|=2x+1;
д) |x-3|=x; е) |x+2|=2x.

Подробный ответ

а) $$\left(x^2+2\right)\cdot |2x-1|=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$x^2+2=0 \quad \text{или} \quad |2x-1|=0.$$
Первое уравнение не имеет действительных решений, так как $$x^2\ge 0,$$ значит $$x^2+2>0.$$
Из второго уравнения:
$$2x-1=0,$$
$$x=\frac12.$$
б) $$|x^4+1|=x^4+x$$
Так как $$x^4+1>0$$ при любом $$x,$$ то
$$|x^4+1|=x^4+1.$$
Тогда
$$x^4+1=x^4+x,$$
$$x=1.$$
Проверка: $$|1^4+1|=2,$$ $$1^4+1=2.$$
в) $$|x|=x+2$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем
$$x=x+2,$$
что невозможно.
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и тогда
$$-x=x+2,$$
$$2x=-2,$$
$$x=-1.$$
г) $$|x|=2x+1$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x=2x+1,$$
$$x=-1,$$
что не подходит.
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x=2x+1,$$
$$3x=-1,$$
$$x=-\frac13.$$
д) $$|x-3|=x$$
Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$x\ge 0.$$
Если $$x\ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ и
$$x-3=x,$$
что невозможно.
Если $$x<3,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ и
$$3-x=x,$$
$$2x=3,$$
$$x=\frac32.$$
е) $$|x+2|=2x$$
Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$x\ge 0.$$
Если $$x\ge -2,$$ то $$|x+2|=x+2,$$ и
$$x+2=2x,$$
$$x=2.$$
Если $$x<-2,$$ то $$|x+2|=-(x+2),$$ но это противоречит условию $$x\ge 0,$$ поэтому решений здесь нет.