Упр.986 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 986. Может ли биквадратное уравнение иметь один корень? два корня? три корня? В каждом случае, если ответ положителен, приведите примеры. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 nikol9 986 95

Биквадратное уравнение имеет вид $$x^4+ax^2+b=0.$$ Сделаем замену $$t=x^2,$$ тогда получим квадратное уравнение относительно $$t.$$

Так как $$x^2 \ge 0,$$ то каждый положительный корень уравнения для $$t$$ даёт два корня для $$x$$: $$x=\pm\sqrt{t},$$ а нулевой корень даёт один корень $$x=0.$$

1) Один корень. Это возможно, если у уравнения для $$t$$ один корень равен нулю, а второй отрицателен. Например:

$$ (x^2+a)(x^2-0)=0, $$
$$ x^4+ax^2=0,\quad a>0. $$
Тогда $$x^2(x^2+a)=0,$$ и единственный корень: $$x=0.$$

2) Два корня. Это возможно, если у уравнения для $$t$$ один корень отрицателен, а второй положителен. Например:

$$ (x^2+a)(x^2-b)=0,\quad a>0,\ b>0. $$
Тогда
$$ x^4+(a-b)x^2-ab=0, $$
а корни по $$x$$: $$x=\pm\sqrt{b}.$$ Их два.

3) Три корня. Это возможно, если один корень для $$t$$ положителен, а второй равен нулю. Например:

$$ (x^2-a)(x^2-0)=0,\quad a>0. $$
Тогда
$$ x^4-ax^2=0, $$
и корни:
$$ x=0,\quad x=\pm\sqrt{a}. $$
Всего три корня.

Ответ: да, биквадратное уравнение может иметь один, два и три корня.