Упр.984 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Какими числами должны быть $$p$$ и $$q$$, чтобы корни уравнения $$x^2+px+q=0$$ были равны $$р$$ и $$q$$?

По теореме Виета для уравнения $$x^2+px+q=0$$ с корнями $$p$$ и $$q$$ имеем:

$$p+q=-p,$$

$$pq=q.$$

Из первого равенства:

$$q=-2p.$$

Подставим это во второе равенство:

$$p(-2p)=-2p,$$

$$-2p^2=-2p,$$

$$p^2=p,$$

$$p(p-1)=0.$$

Если $$p=0,$$ то $$q=0,$$ и уравнение имеет корни $$0$$ и $$0,$$ что не подходит, так как корни должны быть равны $$p$$ и $$q$$ одновременно. Поэтому

$$p=1.$$

Тогда

$$q=-2p=-2.$$

Проверка: $$x^2+x-2=0,$$ его корни $$1$$ и $$-2,$$ то есть действительно равны $$p$$ и $$q.$$

Ответ

$$p=1,\ q=-2.$$