Упр.982 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 982. Укажите условия, при выполнении которых квадратное уравнение ax^2+bx+c=0, где a, b и c — рациональные числа, имеет иррациональные корни.

Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет корни

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, \qquad D=b^2-4ac.$$

Так как $$a,b,c$$ — рациональные числа, то число $$b^2-4ac$$ тоже рационально. Чтобы корни были иррациональными, необходимо, чтобы:

• уравнение действительно было квадратным, то есть $$a\ne 0$$;
• дискриминант был положительным, чтобы корни были действительными: $$D>0$$;
• число $$D$$ не было квадратом рационального числа, иначе $$\sqrt{D}$$ было бы рациональным.

Если $$D=0$$, корень один и он рационален, а если $$D<0$$, действительных корней нет.

Ответ

Квадратное уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет иррациональные корни при условиях $$a\ne 0$$, $$D=b^2-4ac>0$$ и $$D$$ не является квадратом рационального числа.