Упр.981 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) x^2+2kx+(k-1)^2=0; б) x^2-kx+k-1=0.

1. а) $$x^2+2kx+(k-1)^2=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(2k)^2-4(k-1)^2=4k^2-4(k^2-2k+1)=4(2k-1).$$

   Тогда

   $$x=\frac{-2k\pm\sqrt{4(2k-1)}}{2}=-k\pm\sqrt{2k-1}.$$

   Чтобы корни были действительными, нужно:

   $$2k-1\ge 0,$$

   откуда

   $$k\ge \frac12.$$

2. б) $$x^2-kx+k-1=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=k^2-4(k-1)=k^2-4k+4=(k-2)^2.$$

   Тогда

   $$x=\frac{k\pm\sqrt{(k-2)^2}}{2}=\frac{k\pm (k-2)}{2}.$$

   Получаем корни:

   $$x_1=\frac{k-(k-2)}{2}=1,$$

   $$x_2=\frac{k+(k-2)}{2}=k-1.$$

   Уравнение имеет действительные корни при любом $$k\in \mathbb{R}$$, так как $$D=(k-2)^2\ge 0.$$

Ответ

а) $$x=-k\pm\sqrt{2k-1},\quad k\ge \frac12.$$

б) $$x=1,\; x=k-1.$$