Упр.978 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 978. Найдите значение p, при котором корни уравнения 6x^2+3x-p=0 удовлетворяют условию x_1·(x_2)^4+x_2·(x_1)^4=63/8.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$6x^2+3x-p=0.$$ Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-\frac{3}{6}=-\frac12, \qquad x_1x_2=\frac{-p}{6}.$$

Используем данное условие:

$$x_1x_2^4+x_2x_1^4=x_1x_2(x_1^3+x_2^3).$$

Так как

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2),$$

то

$$x_1x_2^4+x_2x_1^4=x_1x_2(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2).$$

Найдём $$x_1^2+x_2^2$$:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac14+\frac{p}{3}=\frac{4p+3}{12}.$$

Тогда

$$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1^2+x_2^2)-x_1x_2=\frac{4p+3}{12}+\frac{p}{6}=\frac{6p+3}{12}=\frac{2p+1}{4}.$$

Подставим в условие:

$$\left(-\frac{p}{6}\right)\left(-\frac12\right)\cdot \frac{2p+1}{4}=\frac{63}{8}.$$

Получаем

$$\frac{p(2p+1)}{48}=\frac{63}{8},$$

$$p(2p+1)=378,$$

$$2p^2+p-378=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+4\cdot 2\cdot 378=3025=55^2,$$

$$p=\frac{-1\pm 55}{4}.$$

Отсюда

$$p_1=-14,\qquad p_2=\frac{54}{4}=13{,}5.$$

Проверим условие существования корней уравнения $$6x^2+3x-p=0$$: должно быть

$$9+24p\ge 0.$$

Для $$p=-14$$ это не выполняется, а для $$p=13{,}5$$ выполняется.

Ответ

$$p=13{,}5.$$