Упр.977 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 977. Найдите положительное значение q, при котором корни уравнения 2x^2+qx-18=0 удовлетворяют условию 1/(x_1)^2-1/(x_2)^2=65/324. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 nikol9 977 95

Для уравнения $$2x^2+qx-18=0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=-\frac{q}{2}, \qquad x_1x_2=-9.$$

Преобразуем условие:

$$\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{(x_1x_2)^2}=\frac{65}{324}.$$

Так как

$$x_2+x_1=-\frac{q}{2}, \qquad (x_1x_2)^2=81,$$

то нужно найти разность корней. Для квадратного уравнения

$$x_2-x_1=\frac{\sqrt{q^2+144}}{2}.$$

Подставим в условие:

$$\frac{\sqrt{q^2+144}}{2}\cdot\left(-\frac{q}{2}\right)\cdot\frac{1}{81}=\frac{65}{324}.$$

Упростим:

$$-\frac{q\sqrt{q^2+144}}{4\cdot 81}=\frac{65}{324}$$

$$-q\sqrt{q^2+144}=65.$$

Так как правая часть положительна, то $$q<0.$$ Возведём в квадрат:

$$q^2(q^2+144)=4225$$

$$q^4+144q^2-4225=0.$$

Обозначим $$t=q^2$$. Тогда

$$t^2+144t-4225=0.$$

$$D=144^2+4\cdot 4225=37636,$$

$$t=\frac{-144\pm 194}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=-169,\qquad t_2=25.$$

Так как $$t=q^2\ge 0,$$ то $$q^2=25,$$ откуда $$q=\pm 5.$$

С учётом условия $$q<0$$ получаем:

Ответ

$$q=-5.$$