Упр.976 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 976. Найдите значение p, при котором корни уравнения 2x^2-5x+p=0 удовлетворяют условию (x_2)^2/x_1+(x_1)^2/x_2=65/8.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$2x^2-5x+p=0.$$ Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=\frac{5}{2}, \qquad x_1x_2=\frac{p}{2}.$$

Используем условие:

$$\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}=\frac{65}{8}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x_2^3+x_1^3}{x_1x_2}=\frac{65}{8}.$$

Так как

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2),$$

то

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\cdot\frac{p}{2}=\frac{25}{4}-p.$$

Тогда

$$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=\left(\frac{25}{4}-p\right)-\frac{p}{2}=\frac{25}{4}-\frac{3p}{2}.$$

Подставим в условие:

$$\frac{\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{25}{4}-\frac{3p}{2}\right)}{\frac{p}{2}}=\frac{65}{8}.$$

Упростим:

$$\frac{5(25-6p)}{4p}=\frac{65}{8}.$$

$$40(25-6p)=65p.$$

$$1000-240p=65p.$$

$$1000=305p.$$

$$p=\frac{200}{61}.$$

Проверим условие существования корней: $$D=25-8p>0$$, и при $$p=\frac{200}{61}$$ это выполняется.

Ответ

$$p=\frac{200}{61}$$