Упр.975 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$p$$ один из корней квадратного уравнения $$x^2+px-5=0$$ больше 1, а другой меньше 1?

Рассмотрим квадратное уравнение $$x^2+px-5=0.$$ Его корни равны

$$x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2+20}}{2}.$$

Требуется, чтобы один корень был больше $$1,$$ а другой меньше $$1.$$ Это равносильно тому, что число $$1$$ лежит между корнями уравнения. Для этого достаточно, чтобы значение многочлена при $$x=1$$ было отрицательным:

$$1^2+p\cdot 1-5<0.$$

Получаем

$$p-4<0,$$

$$p<4.$$

При $$p=4$$ число $$1$$ является корнем, поэтому условие «один корень больше $$1,$$ а другой меньше $$1$$» не выполняется.

Ответ

$$p\in(-\infty;4).$$