Упр.974 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 974. При каких значениях m уравнение (m-2)x^2+(m+2)x+m=0 имеет различные корни?
Рассмотрим уравнение $$ (m-2)x^2+(m+2)x+m=0. $$
Чтобы уравнение имело различные корни, возможны два случая:
- это квадратное уравнение и его дискриминант положителен;
- при $$m-2=0$$ уравнение становится линейным и имеет один корень.
Найдём дискриминант:
$$ D=(m+2)^2-4(m-2)m $$
$$ D=m^2+4m+4-4m^2+8m=-3m^2+12m+4. $$
Для двух различных корней нужно:
$$ -3m^2+12m+4>0 $$
$$ 3m^2-12m-4<0. $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ D_m=(-12)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=144+48=192=64\cdot 3, $$
$$ m=\frac{12\pm\sqrt{192}}{2\cdot 3}=\frac{12\pm 8\sqrt3}{6}=\frac{6\pm 4\sqrt3}{3}. $$
Так как коэффициент при $$m^2$$ положительный, то неравенство $$3m^2-12m-4<0$$ выполняется между корнями:
$$ \frac{6-4\sqrt3}{3}<m<\frac{6+4\sqrt3}{3}. $$
Теперь рассмотрим случай $$m-2=0$$, то есть $$m=2$$. Тогда уравнение становится линейным:
$$ 4x+2=0, $$
и имеет один корень, значит подходит.
Объединяем результаты:
$$ m\in\left(\frac{6-4\sqrt3}{3};\,2\right]\cup\left(2;\,\frac{6+4\sqrt3}{3}\right). $$
Ответ
$$ m\in\left(\frac{6-4\sqrt3}{3};\,2\right]\cup\left(2;\,\frac{6+4\sqrt3}{3}\right). $$
