Упр.973 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) отрицательных; б) положительных;
в) разных знаков, причём положительный корень имеет большую абсолютную величину;
г) разных знаков, причём отрицательный корень имеет большую абсолютную величину?

Рассмотрим уравнение

$$ (t+1)x^2+2(t-1)x+t-3=0. $$

При $$t=-1$$ уравнение становится линейным, поэтому для двух корней нужно $$t\ne -1$$.

Найдём дискриминант:

$$ D=[2(t-1)]^2-4(t+1)(t-3) =4(t-1)^2-4(t+1)(t-3). $$

$$ D=4\bigl((t-1)^2-(t+1)(t-3)\bigr) =4\bigl(t^2-2t+1-(t^2-2t-3)\bigr)=16. $$

Значит, при $$t\ne -1$$ уравнение всегда имеет два действительных корня:

$$ x_1=\frac{-2(t-1)-4}{2(t+1)}=-1,\qquad x_2=\frac{-2(t-1)+4}{2(t+1)}=\frac{3-t}{t+1}. $$

а) Два отрицательных корня.

Так как $$x_1=-1<0$$, нужно, чтобы и второй корень был отрицательным:

$$ \frac{3-t}{t+1}<0. $$

Это выполняется при

$$ t\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty). $$

б) Два положительных корня.

Но $$x_1=-1$$ всегда отрицателен, поэтому двух положительных корней быть не может.

в) Корни разных знаков, причём положительный корень имеет большую абсолютную величину.

Так как один корень равен $$-1$$, а другой должен быть положительным, получаем

$$ \frac{3-t}{t+1}>0. $$

Чтобы положительный корень имел большую абсолютную величину, нужно

$$ \frac{3-t}{t+1}>1. $$

Решим неравенство:

$$ \frac{3-t}{t+1}-1>0 $$

$$ \frac{3-t-(t+1)}{t+1}>0 $$

$$ \frac{2-2t}{t+1}>0 $$

$$ \frac{1-t}{t+1}>0. $$

Отсюда

$$ t\in(-1,1). $$

г) Корни разных знаков, причём отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.

Теперь нужно, чтобы второй корень был положительным, но меньше по модулю, чем $$-1$$:

$$ 0<\frac{3-t}{t+1}<1. $$

Из условия $$\frac{3-t}{t+1}>0$$ получаем

$$ t\in(-1,3). $$

Из условия $$\frac{3-t}{t+1}<1$$ имеем

$$ \frac{3-t}{t+1}-1<0 $$

$$ \frac{2-2t}{t+1}<0 $$

$$ \frac{1-t}{t+1}<0. $$

Совмещая, получаем

$$ t\in(1,3). $$

Ответ

а) $$t\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$$; б) таких значений нет; в) $$t\in(-1,1)$$; г) $$t\in(1,3)$$.