Упр.973 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях $$t$$ уравнение $$(t+1)x^2+2(t-1)x+t-3=0$$ имеет два действительных корня: а) отрицательных; б) положительных; в) разных знаков, причём положительный корень имеет большую абсолютную величину; г) разных знаков, причём отрицательный корень имеет большую абсолютную величину?
Рассмотрим уравнение
$$(t+1)x^2+2(t-1)x+t-3=0.$$
При $$t=-1$$ уравнение становится линейным, поэтому для двух корней нужно $$t\ne -1$$.
Найдём дискриминант:
$$D=[2(t-1)]^2-4(t+1)(t-3) =4(t-1)^2-4(t+1)(t-3).$$
$$D=4\bigl((t-1)^2-(t+1)(t-3)\bigr) =4\bigl(t^2-2t+1-(t^2-2t-3)\bigr)=16.$$
Значит, при $$t\ne -1$$ уравнение всегда имеет два действительных корня:
$$x_1=\frac{-2(t-1)-4}{2(t+1)}=-1,\qquad x_2=\frac{-2(t-1)+4}{2(t+1)}=\frac{3-t}{t+1}.$$
а) Два отрицательных корня.
Так как $$x_1=-1<0$$, нужно, чтобы и второй корень был отрицательным:
$$\frac{3-t}{t+1}<0.$$
Это выполняется при
$$t\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty).$$
б) Два положительных корня.
Но $$x_1=-1$$ всегда отрицателен, поэтому двух положительных корней быть не может.
в) Корни разных знаков, причём положительный корень имеет большую абсолютную величину.
Так как один корень равен $$-1$$, а другой должен быть положительным, получаем
$$\frac{3-t}{t+1}>0.$$
Чтобы положительный корень имел большую абсолютную величину, нужно
$$\frac{3-t}{t+1}>1.$$
Решим неравенство:
$$\frac{3-t}{t+1}-1>0$$
$$\frac{3-t-(t+1)}{t+1}>0$$
$$\frac{2-2t}{t+1}>0$$
$$\frac{1-t}{t+1}>0.$$
Отсюда
$$t\in(-1,1).$$
г) Корни разных знаков, причём отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.
Теперь нужно, чтобы второй корень был положительным, но меньше по модулю, чем $$-1$$:
$$0<\frac{3-t}{t+1}<1.$$
Из условия $$\frac{3-t}{t+1}>0$$ получаем
$$t\in(-1,3).$$
Из условия $$\frac{3-t}{t+1}<1$$ имеем
$$\frac{3-t}{t+1}-1<0$$
$$\frac{2-2t}{t+1}<0$$
$$\frac{1-t}{t+1}<0.$$
Совмещая, получаем
$$t\in(1,3).$$
Ответ
а) $$t\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$$; б) таких значений нет; в) $$t\in(-1,1)$$; г) $$t\in(1,3)$$.
