Упр.972 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (0; 3); б) (1; 4); в) (-4; 0); г) (-5; -2)?

Рассмотрим уравнение

$$x^2-2tx+t^2-1=0.$$

Найдём его корни:

$$D=(2t)^2-4(t^2-1)=4t^2-4t^2+4=4,$$

$$x=\frac{2t\pm 2}{2}=t\pm 1.$$

Чтобы оба корня лежали в заданном интервале, нужно, чтобы меньший корень $$t-1$$ и больший корень $$t+1$$ удовлетворяли границам интервала.

1. $$\left(0;3\right):$$

   $$t-1>0,\qquad t+1<3.$$

   Отсюда

   $$t>1,\qquad t<2.$$

   Значит, $$t\in(1;2).$$

2. $$\left(1;4\right):$$

   $$t-1>1,\qquad t+1<4.$$

   Отсюда

   $$t>2,\qquad t<3.$$

   Значит, $$t\in(2;3).$$

3. $$\left(-4;0\right):$$

   $$t-1>-4,\qquad t+1<0.$$

   Отсюда

   $$t>-3,\qquad t<-1.$$

   Значит, $$t\in(-3;-1).$$

4. $$\left(-5;-2\right):$$

   $$t-1>-5,\qquad t+1<-2.$$

   Отсюда

   $$t>-4,\qquad t<-3.$$

   Значит, $$t\in(-4;-3).$$

Ответ

а) $$t\in(1;2);$$ б) $$t\in(2;3);$$ в) $$t\in(-3;-1);$$ г) $$t\in(-4;-3).$$