Упр.971 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) 3x^2+4mx+1=0; б) mx^2-(m+1)x+2=0?

а) $$3x^2+4mx+1=0$$

Чтобы уравнение имело два равных корня, дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(4m)^2-4\cdot 3\cdot 1=16m^2-12=4(4m^2-3).$$

$$D=0 \Rightarrow 4m^2-3=0 \Rightarrow m^2=\frac34 \Rightarrow m=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

При $D=0$ корень равен

$$x=\frac{-4m}{2\cdot 3}=-\frac{2m}{3}.$$

Чтобы корень был положительным, нужно $$-\frac{2m}{3}>0 \Rightarrow m<0,$$ а чтобы отрицательным — $$m>0.$$

Значит, два равных положительных корня будут при $$m=-\frac{\sqrt3}{2},$$ а два равных отрицательных корня — при $$m=\frac{\sqrt3}{2}.$$

б) $$mx^2-(m+1)x+2=0$$

Для равных корней требуется $$D=0$$:

$$D=(m+1)^2-4\cdot m\cdot 2=m^2-6m+1.$$

$$m^2-6m+1=0.$$

$$m=\frac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}=3\pm 2\sqrt2.$$

При $$D=0$$ корень равен

$$x=\frac{m+1}{2m}.$$

Проверим знак корня:

• при $$m=3+2\sqrt2$$ имеем $$x>0$$;
• при $$m=3-2\sqrt2$$ имеем $$x<0$$.

Следовательно, два равных положительных корня получаются при $$m=3+2\sqrt2,$$ а два равных отрицательных корня — при $$m=3-2\sqrt2.$$

Ответ

а) $$m=-\frac{\sqrt3}{2}$$ — два равных положительных корня; $$m=\frac{\sqrt3}{2}$$ — два равных отрицательных корня.

б) $$m=3+2\sqrt2$$ — два равных положительных корня; $$m=3-2\sqrt2$$ — два равных отрицательных корня.