Упр.967 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 967. Найдите все значения t, при каждом из которых квадратное уравнение 2x^2-5x-t=0 имеет два положительных различных корня.

Рассмотрим квадратное уравнение $$2x^2-5x-t=0.$$

Чтобы оно имело два различных положительных корня, нужно выполнить три условия:

1. дискриминант должен быть положительным;
2. сумма корней должна быть положительной;
3. произведение корней должно быть положительным.

Найдём дискриминант:

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-t)=25+8t.$$

Для двух различных корней нужно:

$$25+8t>0,$$

откуда

$$t>-\frac{25}{8}.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{5}{2}, \qquad x_1x_2=-\frac{t}{2}.$$

Так как оба корня положительны, то их сумма уже положительна, а для произведения получаем:

$$-\frac{t}{2}>0,$$

значит

$$t<0.$$

Совмещаем условия:

$$-\frac{25}{8}<t<0.$$

Ответ

$$t\in\left(-\frac{25}{8};\,0\right).$$