Упр.965 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) x^2-6x+t=0; б) (t+3)x^2+2(t-1)x+t=0.

а) Для уравнения $$x^2-6x+t=0$$ найдём дискриминант:

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot t=36-4t=4(9-t).$$

Чтобы уравнение имело два различных корня, нужно $$D>0$$:

$$4(9-t)>0 \;\Rightarrow\; 9-t>0 \;\Rightarrow\; t<9.$$

б) Для уравнения $$ (t+3)x^2+2(t-1)x+t=0 $$ найдём дискриминант:

$$D=[2(t-1)]^2-4(t+3)\cdot t.$$

Упростим:

$$ D=4(t-1)^2-4t(t+3) =4(t^2-2t+1)-4(t^2+3t) =4(1-5t). $$

Чтобы уравнение имело два различных корня, нужно $$D>0$$:

$$4(1-5t)>0 \;\Rightarrow\; 1-5t>0 \;\Rightarrow\; t<\frac15.$$

Но при $$t=-3$$ коэффициент при $$x^2$$ обращается в нуль, и уравнение становится линейным, поэтому этот случай нужно исключить.

Итак,

$$t<\frac15,\quad t\ne -3.$$

Следовательно,

$$t\in(-\infty,-3)\cup\left(-3,\frac15\right).$$

Ответ

а) $$t\in(-\infty;9).$$

б) $$t\in(-\infty;-3)\cup\left(-3;\frac15\right).$$