Упр.962 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Определите, при каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение:

1. $$\left(a+\frac{b^{3/2}}{\sqrt{a}}\right)^{2/3}\cdot\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right)^{-2/3};$$
2. $$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+\frac{2a^2}{\sqrt{a}}+b\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}+\frac{3\sqrt{ab}-3b}{a-b}.$$

а) Чтобы выражение имело смысл, нужно, чтобы существовали корни и были определены знаменатели, а также чтобы основание степени $$-\frac{2}{3}$$ было положительным.

Из наличия корней получаем:

$$a>0,\quad b>0.$$

Для второй скобки требуется:

$$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a}+\frac{\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}>0,$$

причём

$$\sqrt a-\sqrt b\ne 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2+\sqrt{ab}}{\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)}>0.$$

Числитель положителен, значит знак дроби определяется знаменателем. Поэтому

$$\sqrt a-\sqrt b>0,$$

то есть

$$a>b.$$

Следовательно,

$$a>0,\quad 0<b<a.$$

б) Для существования выражения нужно, чтобы были определены корни и знаменатели:

$$a>0,\quad b>0,$$

$$a-b\ne 0.$$

То есть

$$a\ne b.$$

Других ограничений нет.

Ответ

а) $$a\in(0;+\infty),\quad b\in(0;a).$$

б) $$a\in(0;+\infty),\quad b\in(0;+\infty),\quad a\ne b.$$