Упр.961 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) ((a^(1,5)+b^(1,5))/(a^(0,5)+b^(0,5))-a^(0,5)b^(0,5))/(a-b)+(2b^(0,5))/(a^(0,5)+b^(0,5));
б) 3^(1,5)/((3^(0,5))^(3)a^(1/6)-a^(2/3))+(a^(5/6)+3^(1,5)a^(1/3))/(a^(1/3)+3)·(1/(a^(1/2)-b)-1/(a^(1/2)-a^(1/4)b^(1/2)).

Подробный ответ

а) Чтобы выражение имело смысл, нужно, чтобы существовали корни и не обращались в нуль знаменатели:

$$a^{1/2},\ b^{1/2} \text{ существуют} \;\Rightarrow\; a>0,\ b>0.$$

Кроме того,
$$a-b\ne 0,$$
то есть
$$a\ne b.$$

Следовательно,

$$a\in(0;+\infty),\quad b\in(0;+\infty),\quad a\ne b.$$

б) Для существования выражения нужно:

$$a>0,\quad b>0.$$

Также знаменатели не должны быть равны нулю:

$$3^{1,5}\cdot (3^{0,5})^3 a^{1/6}-a^{2/3}\ne 0,$$
$$a^{1/2}-b\ne 0,$$
$$a^{1/2}-a^{1/4}b^{1/2}\ne 0.$$

Упростим первое неравенство:

$$3^{1,5}\cdot (3^{0,5})^3 a^{1/6}-a^{2/3} =3^{3/2}\cdot 3^{3/2}a^{1/6}-a^{2/3} =27a^{1/6}-a^{2/3}.$$

Вынесем общий множитель:

$$27a^{1/6}-a^{2/3}=a^{1/6}(27-a^{1/2}).$$

Так как $a>0$, то $a^{1/6}\ne 0$, значит

$$27-a^{1/2}\ne 0 \;\Rightarrow\; a^{1/2}\ne 27 \;\Rightarrow\; a\ne 729.$$

Из остальных знаменателей получаем:

$$a^{1/2}\ne b \;\Rightarrow\; a\ne b^2,$$
$$a^{1/2}-a^{1/4}b^{1/2}=a^{1/4}(a^{1/4}-b^{1/2})\ne 0 \;\Rightarrow\; a^{1/4}\ne b^{1/2} \;\Rightarrow\; a\ne b^2.$$

Итак, для пункта б):

$$a>0,\quad b>0,\quad a\ne 729,\quad a\ne b^2.$$