Упр.960 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Определите, при каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение:

1. $$\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2\cdot\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right);$$
2. $$\frac{1-x^{-2}}{x^{1/2}-x^{-1/2}}-\frac{2}{x^{3/2}}+\frac{x^{-2}-x}{x^{1/2}-x^{-1/2}}.$$

а) Чтобы выражение имело смысл, нужно, чтобы существовали корни и не обращались в нуль знаменатели:

$$x>0,$$

$$\sqrt{x}+1\ne 0,$$

$$\sqrt{x}-1\ne 0.$$

Так как при $$x>0$$ всегда $$\sqrt{x}+1>0,$$ остаётся условие

$$\sqrt{x}\ne 1,$$

то есть

$$x\ne 1.$$

Следовательно,

$$x\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$

б) Для выражения должны существовать корни и не обращаться в нуль знаменатели:

$$x>0,$$

$$x^{1/2}-x^{-1/2}\ne 0.$$

Преобразуем:

$$x^{1/2}-x^{-1/2}=\frac{x-1}{\sqrt{x}}.$$

При $$x>0$$ знаменатель $$\sqrt{x}\ne 0,$$ значит нужно только

$$x-1\ne 0,$$

то есть

$$x\ne 1.$$

Следовательно,

$$x\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$

б) $$x\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$