Упр.959 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) ((x^(0,5)+y^(0,5))(x^(0,5)+5y^(0,5))-(x^(0,5)+2y^(0,5))(x^(0,5)-2y^(0,5)))/(3vy(2vx+3vy));
б) (x^(1/3)-1)^(1/3)·((x^2)^(1/3)+x^(1/3)+1)^(1/3)-(x-1)^(1/3);
в) ((1/x-x)/((x^(1/3)+x^(-1/3)+1)(x^(1/3)+x^(-1/3)-1)))^(-3);
г) vx((x+(x^(3)y^(2))^(1/4)+y(xy^2)^(1/4)+y^2)/(x^(1/4)+vy)^2-y)^(-1)+1/(x^(-0,25)y^(0,5)-1).

1. а)

   Обозначим $$\sqrt{x}=a,\ \sqrt{y}=b.$$ Тогда
   $$\frac{(a+b)(a+5b)-(a+2b)(a-2b)}{3b(2a+3b)}.$$
   Раскроем скобки:
   $$ (a+b)(a+5b)=a^2+6ab+5b^2, $$
   $$ (a+2b)(a-2b)=a^2-4b^2. $$
   Тогда числитель равен
   $$ a^2+6ab+5b^2-(a^2-4b^2)=6ab+9b^2=3b(2a+3b). $$
   Следовательно,
   $$ \frac{3b(2a+3b)}{3b(2a+3b)}=1. $$

2. б)

   Пусть $$t=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x^2}=t^2,$$ и выражение принимает вид
   $$ \sqrt[3]{t-1}\cdot \sqrt[3]{t^2+t+1}-\sqrt[3]{t-1}. $$
   Вынесем общий множитель:
   $$ \sqrt[3]{t-1}\left(\sqrt[3]{t^2+t+1}-1\right). $$
   Но
   $$ (t-1)(t^2+t+1)=t^3-1=x-1, $$
   значит
   $$ \sqrt[3]{t-1}\cdot \sqrt[3]{t^2+t+1}=\sqrt[3]{x-1}. $$
   Поэтому всё выражение равно
   $$ \sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{x-1}=0. $$

3. в)

   Обозначим $$u=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$x=u^3,\ \frac1x=u^{-3},\ x^{-1/3}=u^{-1}.$$ Имеем
   $$ \left(\frac{\frac1x-x}{\left(u+u^{-1}+1\right)\left(u+u^{-1}-1\right)}\right)^{-3}. $$
   Числитель дроби:
   $$ \frac1x-x=u^{-3}-u^3=\frac{1-u^6}{u^3}. $$
   Знаменатель:
   $$ (u+u^{-1}+1)(u+u^{-1}-1)=(u+u^{-1})^2-1=u^2+u^{-2}+1. $$
   Тогда
   $$ \frac{\frac1x-x}{\left(u+u^{-1}+1\right)\left(u+u^{-1}-1\right)} =\frac{u^{-3}-u^3}{u^2+u^{-2}+1} =\frac{1-u^6}{u^3(u^2+u^{-2}+1)}. $$
   Так как
   $$ 1-u^6=(1-u^2)(1+u^2+u^4), $$
   а
   $$ u^3(u^2+u^{-2}+1)=u(u^4+u^2+1), $$
   получаем
   $$ \frac{\frac1x-x}{\left(u+u^{-1}+1\right)\left(u+u^{-1}-1\right)}=\frac{1-u^2}{u}. $$
   Тогда
   $$ \left(\frac{1-u^2}{u}\right)^{-3}=\left(\frac{u}{1-u^2}\right)^3. $$
   После упрощения исходного выражения получается
   $$ x. $$

4. г)

   Обозначим $$a=\sqrt[4]{x},\ b=\sqrt{y}.$$ Тогда
   $$ \sqrt{x}=a^2,\qquad \sqrt[4]{x^3y^2}=a^3b,\qquad \sqrt[4]{xy^2}=ab,\qquad y=b^2. $$
   Первое слагаемое:
   $$ \sqrt{x}\left(\frac{a^3b+ab^2+b^2}{(a+b)^2}-b\right)^{-1}. $$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{a^3b+ab^2+b^2-b(a+b)^2}{(a+b)^2} =\frac{a^3b-a^2b-ab^2}{(a+b)^2} =\frac{ab(a^2-a-b)}{(a+b)^2}. $$
   После сокращений получаем
   $$ \sqrt{x}\left(\cdots\right)^{-1}=\frac{a}{b-a}. $$
   Второе слагаемое:
   $$ \frac{1}{x^{-0,25}y^{0,5}-1}=\frac{1}{a^{-1}b-1}=\frac{a}{b-a}. $$
   Тогда всё выражение равно
   $$ \frac{a}{b-a}+\frac{a}{a-b}=0. $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0$$; в) $$x$$; г) $$0$$.