Упр.950 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a}+\sqrt{a-b}}\right):\sqrt{\frac{a-b}{a}}$$;
б) $$\frac{a^2b^{-1}-a^{-2}b^3}{a^3b^{-1}+ab}:\frac{a^{-1}b-ab^{-1}}{a^3b^{-1}}$$.

Подробный ответ

а)

$$\left(\frac{\sqrt a+\sqrt{a-b}}{\sqrt a-\sqrt{a-b}}-\frac{\sqrt a-\sqrt{a-b}}{\sqrt a+\sqrt{a-b}}\right):\sqrt{\frac{a-b}{a}}$$

Приведём разность дробей к общему знаменателю:
$$\frac{(\sqrt a+\sqrt{a-b})^2-(\sqrt a-\sqrt{a-b})^2}{(\sqrt a-\sqrt{a-b})(\sqrt a+\sqrt{a-b})}:\sqrt{\frac{a-b}{a}}$$

Числитель:
$$(\sqrt a+\sqrt{a-b})^2-(\sqrt a-\sqrt{a-b})^2=4\sqrt a\sqrt{a-b}.$$

Знаменатель первой дроби:
$$(\sqrt a-\sqrt{a-b})(\sqrt a+\sqrt{a-b})=a-(a-b)=b.$$

Тогда
$$\frac{4\sqrt a\sqrt{a-b}}{b}:\sqrt{\frac{a-b}{a}} = \frac{4\sqrt a\sqrt{a-b}}{b}\cdot\sqrt{\frac{a}{a-b}} = \frac{4a}{b}.$$

б)

$$\frac{a^2b^{-1}-a^{-2}b^3}{a^3b^{-1}+ab}:\frac{a^{-1}b-ab^{-1}}{a^3b^{-1}}$$

Упростим каждую дробь:
$$a^2b^{-1}-a^{-2}b^3=\frac{a^4-b^4}{a^2b},$$
$$a^3b^{-1}+ab=\frac{a(a^2+b^2)}{b},$$
$$a^{-1}b-ab^{-1}=\frac{b^2-a^2}{ab},$$
$$a^3b^{-1}=\frac{a^3}{b}.$$

Тогда
$$\frac{a^2b^{-1}-a^{-2}b^3}{a^3b^{-1}+ab} = \frac{(a^4-b^4)/(a^2b)}{a(a^2+b^2)/b} = \frac{a^4-b^4}{a^3(a^2+b^2)},$$
а
$$\frac{a^{-1}b-ab^{-1}}{a^3b^{-1}} = \frac{(b^2-a^2)/(ab)}{a^3/b} = \frac{b^2-a^2}{a^4}.$$

Следовательно,
$$\frac{a^4-b^4}{a^3(a^2+b^2)}:\frac{b^2-a^2}{a^4} = \frac{a^4-b^4}{a^3(a^2+b^2)}\cdot\frac{a^4}{b^2-a^2}.$$

Разложим разность квадратов:
$$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2),$$
$$b^2-a^2=-(a^2-b^2).$$

После сокращения получаем:
$$-a.$$