Упр.950 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

б) ((a^2)b^(-1)-(a^(-2))b^3)/((a^3)b^(-1)+ab):((a^(-1)b-ab^(-1))/((a^3)b^(-1)).

Подробный ответ

а)

$$ \left(\frac{\sqrt a+\sqrt{a-b}}{\sqrt a-\sqrt{a-b}}-\frac{\sqrt a-\sqrt{a-b}}{\sqrt a+\sqrt{a-b}}\right):\sqrt{\frac{a-b}{a}} $$

Приведём разность дробей к общему знаменателю:
$$ \frac{(\sqrt a+\sqrt{a-b})^2-(\sqrt a-\sqrt{a-b})^2}{(\sqrt a-\sqrt{a-b})(\sqrt a+\sqrt{a-b})}:\sqrt{\frac{a-b}{a}} $$

Числитель:
$$ (\sqrt a+\sqrt{a-b})^2-(\sqrt a-\sqrt{a-b})^2=4\sqrt a\sqrt{a-b}. $$

Знаменатель первой дроби:
$$ (\sqrt a-\sqrt{a-b})(\sqrt a+\sqrt{a-b})=a-(a-b)=b. $$

Тогда
$$ \frac{4\sqrt a\sqrt{a-b}}{b}:\sqrt{\frac{a-b}{a}} = \frac{4\sqrt a\sqrt{a-b}}{b}\cdot\sqrt{\frac{a}{a-b}} = \frac{4a}{b}. $$

б)

$$ \frac{a^2b^{-1}-a^{-2}b^3}{a^3b^{-1}+ab}:\frac{a^{-1}b-ab^{-1}}{a^3b^{-1}} $$

Упростим каждую дробь:
$$ a^2b^{-1}-a^{-2}b^3=\frac{a^4-b^4}{a^2b}, $$
$$ a^3b^{-1}+ab=\frac{a(a^2+b^2)}{b}, $$
$$ a^{-1}b-ab^{-1}=\frac{b^2-a^2}{ab}, $$
$$ a^3b^{-1}=\frac{a^3}{b}. $$

Тогда
$$ \frac{a^2b^{-1}-a^{-2}b^3}{a^3b^{-1}+ab} = \frac{(a^4-b^4)/(a^2b)}{a(a^2+b^2)/b} = \frac{a^4-b^4}{a^3(a^2+b^2)}, $$
а
$$ \frac{a^{-1}b-ab^{-1}}{a^3b^{-1}} = \frac{(b^2-a^2)/(ab)}{a^3/b} = \frac{b^2-a^2}{a^4}. $$

Следовательно,
$$ \frac{a^4-b^4}{a^3(a^2+b^2)}:\frac{b^2-a^2}{a^4} = \frac{a^4-b^4}{a^3(a^2+b^2)}\cdot\frac{a^4}{b^2-a^2}. $$

Разложим разность квадратов:
$$ a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2), $$
$$ b^2-a^2=-(a^2-b^2). $$

После сокращения получаем:
$$ -a. $$