Упр.940 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$ABC=1$$, то $$\frac{1}{1+A+AB}+\frac{1}{1+AC+C}+\frac{1}{1+B+BC}=1$$.

Из условия $$ABC=1$$ получаем

$$C=\frac{1}{AB}.$$

Подставим это в левую часть доказываемого равенства:

$$\frac{1}{1+A+AB}+\frac{1}{1+AC+C}+\frac{1}{1+B+BC} = \frac{1}{1+A+AB}+\frac{1}{1+\frac{1}{B}+\frac{1}{AB}}+\frac{1}{1+B+\frac{1}{A}}.$$

Упростим вторую и третью дроби:

$$\frac{1}{1+\frac{1}{B}+\frac{1}{AB}} = \frac{AB}{AB+A+1},$$

$$\frac{1}{1+B+\frac{1}{A}} = \frac{A}{A+AB+1}.$$

Тогда

$$\frac{1}{1+A+AB}+\frac{AB}{AB+A+1}+\frac{A}{A+AB+1} = \frac{1+AB+A}{1+A+AB}=1.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{1+A+AB}+\frac{1}{1+AC+C}+\frac{1}{1+B+BC}=1.$$

Ответ

$$1$$