Упр.940 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 940. Докажите, что если ABC=1, то 1/(1+A+AB)+1/(1+AC+C)+1/(1+B+BC)=1.

Из условия $$ABC=1$$ получаем

$$C=\frac{1}{AB}.$$

Подставим это в левую часть доказываемого равенства:

$$ \frac{1}{1+A+AB}+\frac{1}{1+AC+C}+\frac{1}{1+B+BC} = \frac{1}{1+A+AB}+\frac{1}{1+\frac{1}{B}+\frac{1}{AB}}+\frac{1}{1+B+\frac{1}{A}}. $$

Упростим вторую и третью дроби:

$$ \frac{1}{1+\frac{1}{B}+\frac{1}{AB}} = \frac{AB}{AB+A+1}, $$

$$ \frac{1}{1+B+\frac{1}{A}} = \frac{A}{A+AB+1}. $$

Тогда

$$ \frac{1}{1+A+AB}+\frac{AB}{AB+A+1}+\frac{A}{A+AB+1} = \frac{1+AB+A}{1+A+AB}=1. $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{1+A+AB}+\frac{1}{1+AC+C}+\frac{1}{1+B+BC}=1. $$

Ответ

$$1$$