Упр.931 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. а) $$\left(\frac{x^2-x-6}{x^2-4}-\frac{x^2-4x-5}{x^2-7x+10}\right):\frac{4x+16}{x-2}$$; б) $$\left(\frac{x^2-3x-10}{x^2-25}-\frac{x^2+x-12}{x^2-8x+15}\right):\frac{4x+10}{5-x}$$.

а)

$$\left(\frac{x^2-x-6}{x^2-4}-\frac{x^2-4x-5}{x^2-7x+10}\right):\frac{4x+16}{x-2}$$

Разложим на множители:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2), \quad x^2-4=(x-2)(x+2)$$
$$x^2-4x-5=(x-5)(x+1), \quad x^2-7x+10=(x-5)(x-2)$$
$$4x+16=4(x+4)$$

Тогда

$$\left(\frac{(x-3)(x+2)}{(x-2)(x+2)}-\frac{(x-5)(x+1)}{(x-5)(x-2)}\right):\frac{4(x+4)}{x-2}$$
$$=\left(\frac{x-3}{x-2}-\frac{x+1}{x-2}\right)\cdot\frac{x-2}{4(x+4)}$$
$$=\frac{-4}{x-2}\cdot\frac{x-2}{4(x+4)} =-\frac{1}{x+4}$$

б)

$$\left(\frac{x^2-3x-10}{x^2-25}-\frac{x^2+x-12}{x^2-8x+15}\right):\frac{4x+10}{5-x}$$

Разложим на множители:

$$x^2-3x-10=(x-5)(x+2), \quad x^2-25=(x-5)(x+5)$$
$$x^2+x-12=(x+4)(x-3), \quad x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$$
$$4x+10=2(2x+5)$$

Тогда

$$\left(\frac{(x-5)(x+2)}{(x-5)(x+5)}-\frac{(x+4)(x-3)}{(x-3)(x-5)}\right):\frac{4x+10}{5-x}$$
$$=\left(\frac{x+2}{x+5}-\frac{x+4}{x-5}\right)\cdot\frac{5-x}{4x+10}$$
$$=\frac{(x+2)(x-5)-(x+4)(x+5)}{(x+5)(x-5)}\cdot\frac{5-x}{4x+10}$$
$$=\frac{x^2-3x-10-x^2-9x-20}{(x+5)(x-5)}\cdot\frac{5-x}{4x+10}$$
$$=\frac{-12x-30}{(x+5)(x-5)}\cdot\frac{5-x}{4x+10}$$
$$=\frac{-6(2x+5)}{(x+5)(x-5)}\cdot\frac{5-x}{2(2x+5)} =\frac{3}{x+5}$$

Ответ

а) $$-\frac{1}{x+4}$$; б) $$\frac{3}{x+5}$$.