Упр.929 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)\cdot\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right):\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\right)$$

б) $$\frac{a-b}{a(a-2)+4}+\frac{8+4(1-a)+a^2}{8+a^3}-\frac{1}{2+a}$$

Подробный ответ

а)

$$\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)\cdot\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right):\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\right)$$

Приведём выражения к общему виду:
$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1=\frac{x^2+y^2+xy}{xy},$$
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy},$$
$$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) =\frac{x^4+y^4-x^3y-xy^3}{x^2y^2}.$$
Тогда
$$\frac{x^2+y^2+xy}{xy}\cdot\frac{y-x}{xy}:\frac{x^4+y^4-x^3y-xy^3}{x^2y^2} = \frac{(y-x)(x^2+xy+y^2)}{x^2y^2}\cdot\frac{x^2y^2}{x^4+y^4-xy(x^2+y^2)}.$$
Так как
$$x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=x^4+y^4-x^3y-xy^3=(x-y)(x^3-y^3),$$
получаем
$$\frac{(y-x)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^3-y^3)}.$$
Но
$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$
значит
$$\frac{(y-x)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^3-y^3)} = -\frac{1}{x-y} = \frac{1}{y-x}.$$

б)

$$\frac{a-b}{a(a-2)+4}+\frac{8+4(1-a)+a^2}{8+a^3}-\frac{1}{2+a}$$

Исправим опечатку в условии: в первом числителе должно быть $$a-2$$. Тогда
$$\frac{a-2}{a(a-2)+4}+\frac{8+4(1-a)+a^2}{8+a^3}-\frac{1}{2+a}.$$
Упростим:
$$a(a-2)+4=a^2-2a+4,$$
$$8+4(1-a)+a^2=a^2-4a+12,$$
$$8+a^3=(a+2)(a^2-2a+4).$$
Тогда
$$\frac{a-2}{a^2-2a+4}+\frac{a^2-4a+12}{(a+2)(a^2-2a+4)}-\frac{1}{a+2}.$$
Приведём к общему знаменателю $$(a+2)(a^2-2a+4)$$:
$$\frac{(a-2)(a+2)+(a^2-4a+12)-(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}.$$
Числитель:
$$(a-2)(a+2)+(a^2-4a+12)-(a^2-2a+4)$$
$$=a^2-4+a^2-4a+12-a^2+2a-4 =a^2-2a+4.$$
Следовательно,
$$\frac{a^2-2a+4}{(a+2)(a^2-2a+4)}=\frac{1}{a+2}.$$