Упр.914 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
в) x^2-5x+6; г) x^2-x-6;
д) x^4-x^2-2x-1; е) x^4-x^2+6x-9.
$$x^2-4x+4=(x-2)^2.$$
Рассмотрим квадратный трёхчлен $$x^2-4x+5$$.
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4<0.$$
Действительных корней нет, значит разложить на линейные множители над $$\mathbb{R}$$ нельзя.
$$x^2-5x+6=0$$
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1.$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$$
$$x_1=2,\quad x_2=3.$$
Следовательно,
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$
$$x^2-x-6=0$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25.$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=3.$$
Значит,
$$x^2-x-6=(x+2)(x-3).$$
$$x^4-x^2-2x-1=x^4-(x^2+2x+1)=x^4-(x+1)^2.$$
Используем формулу разности квадратов:
$$x^4-(x+1)^2=(x^2-(x+1))(x^2+(x+1))=(x^2-x-1)(x^2+x+1).$$
Для множителя $$x^2-x-1$$:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-1)=5,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt5}{2}.$$
Для множителя $$x^2+x+1$$:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0,$$
дальше над $$\mathbb{R}$$ не раскладывается.
Итак,
$$x^4-x^2-2x-1=\left(x-\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt5}{2}\right)(x^2+x+1).$$
$$x^4-x^2+6x-9=x^4-(x^2-6x+9)=x^4-(x-3)^2.$$
Тогда
$$x^4-(x-3)^2=(x^2-(x-3))(x^2+(x-3))=(x^2-x+3)(x^2+x-3).$$
Для множителя $$x^2-x+3$$:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 3=-11<0,$$
дальше над $$\mathbb{R}$$ не раскладывается.
Для множителя $$x^2+x-3$$:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-3)=13,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}.$$
Следовательно,
$$x^4-x^2+6x-9=(x^2-x+3)\left(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)\left(x+\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right).$$
Ответ
а) $$\left(x-2\right)^2$$;
б) над $$\mathbb{R}$$ не разлагается;
в) $$\left(x-2\right)\left(x-3\right)$$;
г) $$\left(x+2\right)\left(x-3\right)$$;
д) $$\left(x-\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(x^2+x+1\right)$$;
е) $$\left(x^2-x+3\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)\left(x+\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)$$.
