Упр.901 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- а) Проверьте равенство $$\sqrt{16}+\sqrt[3]{8}=\sqrt{\sqrt[3]{4096}}+\sqrt{\sqrt[3]{64}}$$.
б) Упростите выражение $$\sqrt[3]{45+\sqrt{1682}}$$.
а) Проверим равенство:
$$\sqrt{16}+\sqrt[3]{8}=\sqrt{\sqrt[3]{4096}}+\sqrt{\sqrt[3]{64}}.$$
Левая часть:
$$\sqrt{16}+\sqrt[3]{8}=4+2=6.$$
Правая часть:
$$\sqrt{\sqrt[3]{4096}}+\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt{\sqrt[3]{2^{12}}}+\sqrt{\sqrt[3]{2^6}}=\sqrt{2^4}+\sqrt{2^2}=4+2=6.$$
Следовательно, равенство верно.
б) Упростим выражение:
$$\sqrt[3]{45+\sqrt{1682}}.$$
Заметим, что
$$1682=841\cdot 2=29^2\cdot 2,$$
поэтому
$$\sqrt{1682}=29\sqrt{2}.$$
Тогда
$$\sqrt[3]{45+\sqrt{1682}}=\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}.$$
Представим подкоренное выражение в виде куба суммы:
$$45+29\sqrt{2}=27+18\sqrt{2}+18+11\sqrt{2}.$$
Удобнее заметить, что
$$45+29\sqrt{2}=(3+\sqrt{2})^3,$$
так как
$$(3+\sqrt{2})^3=27+27\sqrt{2}+18+6\sqrt{2}=45+33\sqrt{2},$$
что не подходит, значит нужно проверить разложение точнее. Ищем вид $$\left(a+\sqrt{2}\right)^3$$:
$$(a+\sqrt{2})^3=a^3+6a+(3a^2+2)\sqrt{2}.$$
Приравнивая коэффициенты, получаем систему:
$$\begin{cases} a^3+6a=45,\\ 3a^2+2=29. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$3a^2=27,\quad a^2=9,\quad a=3.$$
Проверка первого уравнения:
$$3^3+6\cdot 3=27+18=45.$$
Значит,
$$45+29\sqrt{2}=(3+\sqrt{2})^3,$$
и тогда
$$\sqrt[3]{45+\sqrt{1682}}=\sqrt[3]{(3+\sqrt{2})^3}=3+\sqrt{2}.$$
Ответ
а) верно; б) $$3+\sqrt{2}$$.
