Упр.901 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) Проверьте равенство v16+8^(1/3)=v(4096^(1/3))+v(64^(1/3)).
б) Упростите выражение (45+v1682)^(1/3).

а) Проверим равенство:

$$\sqrt{16}+\sqrt[3]{8}=\sqrt{\sqrt[3]{4096}}+\sqrt{\sqrt[3]{64}}.$$

Левая часть:

$$\sqrt{16}+\sqrt[3]{8}=4+2=6.$$

Правая часть:

$$\sqrt{\sqrt[3]{4096}}+\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt{\sqrt[3]{2^{12}}}+\sqrt{\sqrt[3]{2^6}}=\sqrt{2^4}+\sqrt{2^2}=4+2=6.$$

Следовательно, равенство верно.

б) Упростим выражение:

$$\sqrt[3]{45+\sqrt{1682}}.$$

Заметим, что

$$1682=841\cdot 2=29^2\cdot 2,$$

поэтому

$$\sqrt{1682}=29\sqrt{2}.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{45+\sqrt{1682}}=\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}.$$

Представим подкоренное выражение в виде куба суммы:

$$45+29\sqrt{2}=27+18\sqrt{2}+18+11\sqrt{2}.$$

Удобнее заметить, что

$$45+29\sqrt{2}=(3+\sqrt{2})^3,$$

так как

$$ (3+\sqrt{2})^3=27+27\sqrt{2}+18+6\sqrt{2}=45+33\sqrt{2}, $$

что не подходит, значит нужно проверить разложение точнее. Ищем вид $$\left(a+\sqrt{2}\right)^3$$:

$$ (a+\sqrt{2})^3=a^3+6a+(3a^2+2)\sqrt{2}. $$

Приравнивая коэффициенты, получаем систему:

$$ \begin{cases} a^3+6a=45,\\ 3a^2+2=29. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$3a^2=27,\quad a^2=9,\quad a=3.$$

Проверка первого уравнения:

$$3^3+6\cdot 3=27+18=45.$$

Значит,

$$45+29\sqrt{2}=(3+\sqrt{2})^3,$$

и тогда

$$\sqrt[3]{45+\sqrt{1682}}=\sqrt[3]{(3+\sqrt{2})^3}=3+\sqrt{2}.$$

Ответ

а) верно; б) $$3+\sqrt{2}$$.