Упр.900 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите, что $$\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$.

Возведём обе части равенства в квадрат:

$$\left(\sqrt{10+\sqrt{24+\sqrt{40+\sqrt{60}}}}\right)^2=\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5\right)^2.$$

Тогда левая часть равна

$$10+\sqrt{24+\sqrt{40+\sqrt{60}}},$$

а правая часть:

$$\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5\right)^2=2+3+5+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}=10+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}.$$

Теперь вычислим выражение под корнем слева:

$$\sqrt{24+\sqrt{40+\sqrt{60}}}=2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}.$$

Тогда

$$10+\sqrt{24+\sqrt{40+\sqrt{60}}}=10+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15},$$

то есть после возведения в квадрат обе части равны. Следовательно, исходное равенство верно:

$$\sqrt{10+\sqrt{24+\sqrt{40+\sqrt{60}}}}=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5.$$

Ответ

$$\sqrt{10+\sqrt{24+\sqrt{40+\sqrt{60}}}}=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5.$$