Упр.881 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (3v(v5+v2))/v(3v5-3v2)=v5+v2;
б) 1/(3^(1/8)+2^(1/8))=(3^(1/8)-2^(1/8))(3^(1/4)+2^(1/4))(v3+v2).

а) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{3\sqrt{\sqrt5+\sqrt2}}{\sqrt{3\sqrt5-3\sqrt2}} = \frac{3\sqrt{\sqrt5+\sqrt2}}{\sqrt3\sqrt{\sqrt5-\sqrt2}} $$

Домножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{\sqrt5+\sqrt2}$$:

$$ \frac{3\sqrt{\sqrt5+\sqrt2}}{\sqrt3\sqrt{\sqrt5-\sqrt2}} = \frac{3(\sqrt5+\sqrt2)}{\sqrt3\sqrt{(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)}} $$

Так как
$$ (\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)=5-2=3, $$
то

$$ \frac{3(\sqrt5+\sqrt2)}{\sqrt3\sqrt3} = \frac{3(\sqrt5+\sqrt2)}{3} = \sqrt5+\sqrt2. $$

Что и требовалось доказать.

б) Преобразуем правую часть:

$$ (\sqrt[8]{3}-\sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2})(\sqrt3+\sqrt2) $$

Сначала перемножим первые два множителя:

$$ (\sqrt[8]{3}-\sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2}) = \frac{(\sqrt[8]{3}-\sqrt[8]{2})(\sqrt[8]{3}+\sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2})}{\sqrt[8]{3}+\sqrt[8]{2}} $$

Так как
$$ (\sqrt[8]{3}-\sqrt[8]{2})(\sqrt[8]{3}+\sqrt[8]{2})=\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2}, $$
то

$$ \frac{(\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2})(\sqrt3+\sqrt2)}{\sqrt[8]{3}+\sqrt[8]{2}} = \frac{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)}{\sqrt[8]{3}+\sqrt[8]{2}} $$

$$ = \frac{3-2}{\sqrt[8]{3}+\sqrt[8]{2}} = \frac{1}{\sqrt[8]{3}+\sqrt[8]{2}}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\frac{3\sqrt{\sqrt5+\sqrt2}}{\sqrt{3\sqrt5-3\sqrt2}}=\sqrt5+\sqrt2$$;
б) $$\frac{1}{\sqrt[8]{3}+\sqrt[8]{2}}=(\sqrt[8]{3}-\sqrt[8]{2})(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2})(\sqrt3+\sqrt2).$$