Упр.879 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите значение выражения:
а) $$2\sqrt{5\sqrt{48}}+3\sqrt{40\sqrt{12}}-2\sqrt{15\sqrt{27}}$$;
б) $$30\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(3\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}+5\left(144^{\frac{1}{3}}\right)+2\left(0{,}125^{\frac{1}{3}}\right)+0{,}0016^{\frac{1}{4}}$$.

Подробный ответ

а)

$$2\sqrt{5\sqrt{48}}+3\sqrt{40\sqrt{12}}-2\sqrt{15\sqrt{27}}$$
$$=2\sqrt{5\cdot 4\sqrt3}+3\sqrt{40\cdot 2\sqrt3}-2\sqrt{15\cdot 3\sqrt3}$$
$$=2\sqrt{20\sqrt3}+3\sqrt{80\sqrt3}-2\sqrt{45\sqrt3}$$
$$=2\cdot 2\sqrt{5\sqrt3}+3\cdot 2\sqrt{20\sqrt3}-2\cdot 3\sqrt{5\sqrt3}$$
$$=4\sqrt{5\sqrt3}+6\sqrt{20\sqrt3}-6\sqrt{5\sqrt3}$$
$$=4\sqrt{5\sqrt3}+12\sqrt{5\sqrt3}-6\sqrt{5\sqrt3} =10\sqrt{5\sqrt3}.$$

Так как
$$\sqrt{5\sqrt3}=\sqrt[4]{75},$$
то
$$10\sqrt{5\sqrt3}=10\sqrt[4]{75}.$$

б)

$$30\left(\frac12\right)^{1/3}+\left(3\frac12\right)\left(\frac23\right)^{1/3}+5\sqrt[3]{144}+2\sqrt[3]{0{,}125}+\sqrt[4]{0{,}0016}$$
$$=30\sqrt[3]{\frac12}+\frac72\sqrt[3]{\frac23}+5\sqrt[3]{144}+2\cdot 0{,}5+0{,}2$$
$$=30\sqrt[3]{\frac12}+\frac72\sqrt[3]{\frac23}+5\sqrt[3]{144}+1{,}2.$$

Преобразуем первые и третьи слагаемые:
$$30\sqrt[3]{\frac12}=30\sqrt[3]{\frac{27}{54}}=30\cdot \frac{3}{\sqrt[3]{54}},$$
$$5\sqrt[3]{144}=5\sqrt[3]{8\cdot 18}=10\sqrt[3]{18}.$$

Удобнее сгруппировать так:
$$30\sqrt[3]{\frac12}+5\sqrt[3]{144} =15\sqrt[3]{4}+30\sqrt[3]{\frac23}.$$
Тогда
$$30\left(\frac12\right)^{1/3}+\left(3\frac12\right)\left(\frac23\right)^{1/3}+5\sqrt[3]{144}+2\sqrt[3]{0{,}125}+\sqrt[4]{0{,}0016}$$
$$=15\sqrt[3]{4}+33{,}5\sqrt[3]{\frac23}+1{,}2.$$