Упр.874 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б) Докажите, что если k — натуральное число, большее 2, то число k^5-5k^3+4k делится на 120.

а) Преобразуем выражение:

$$ k^4-4k^3-4k^2+16k = k^3(k-4)-4k(k-4) = (k^3-4k)(k-4) = k(k^2-4)(k-4) = k(k-2)(k+2)(k-4). $$

При $k>4$ числа $k-4$, $k-2$, $k$, $k+2$ — четыре последовательных чётных числа. Среди них:

• одно делится на $8$;
• два делятся на $4$, причём одно из них делится на $8$;
• два делятся на $2$;
• одно делится на $3$.

Значит, их произведение делится на

$$ 8\cdot 4\cdot 2\cdot 3=384. $$

Следовательно, число $$k^4-4k^3-4k^2+16k$$ делится на $384$.

б) Преобразуем выражение:

$$ k^5-5k^3+4k = k(k^4-5k^2+4) = k\bigl(k^2(k^2-5)+4\bigr), $$

удобнее разложить так:

$$ k^5-5k^3+4k = k(k^4-5k^2+4) = k\bigl((k^2-1)(k^2-4)\bigr) = k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2). $$

При $k>2$ это произведение пяти последовательных чисел: $k-2$, $k-1$, $k$, $k+1$, $k+2$. Среди них:

• одно делится на $5$;
• одно делится на $4$;
• два делятся на $2$, причём одно из них делится на $4$;
• одно делится на $3$.

Значит, произведение делится на

$$ 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120. $$

Следовательно, число $$k^5-5k^3+4k$$ делится на $120$.

Ответ

а) $$k^4-4k^3-4k^2+16k$$ делится на $384$; б) $$k^5-5k^3+4k$$ делится на $120$.