Упр.874 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. а) Докажите, что если $$k$$ — натуральное число, большее 4, то число $$k^4-4k^3-4k^2+16k$$ делится на 384.
   б) Докажите, что если $$k$$ — натуральное число, большее 2, то число $$k^5-5k^3+4k$$ делится на 120.

а) Преобразуем выражение:

$$k^4-4k^3-4k^2+16k = k^3(k-4)-4k(k-4) = (k^3-4k)(k-4) = k(k^2-4)(k-4) = k(k-2)(k+2)(k-4).$$

При $$k>4$$ числа $$k-4$$, $$k-2$$, $$k$$, $$k+2$$ — четыре последовательных чётных числа. Среди них:

• одно делится на $$8$$;
• два делятся на $$4$$, причём одно из них делится на $$8$$;
• два делятся на $$2$$;
• одно делится на $$3$$.

Значит, их произведение делится на

$$8\cdot 4\cdot 2\cdot 3=384.$$

Следовательно, число $$k^4-4k^3-4k^2+16k$$ делится на $$384$$.

б) Преобразуем выражение:

$$k^5-5k^3+4k = k(k^4-5k^2+4) = k\bigl(k^2(k^2-5)+4\bigr),$$

удобнее разложить так:

$$k^5-5k^3+4k = k(k^4-5k^2+4) = k\bigl((k^2-1)(k^2-4)\bigr) = k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2).$$

При $$k>2$$ это произведение пяти последовательных чисел: $$k-2$$, $$k-1$$, $$k$$, $$k+1$$, $$k+2$$. Среди них:

• одно делится на $$5$$;
• одно делится на $$4$$;
• два делятся на $$2$$, причём одно из них делится на $$4$$;
• одно делится на $$3$$.

Значит, произведение делится на

$$5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120.$$

Следовательно, число $$k^5-5k^3+4k$$ делится на $$120$$.

Ответ

а) $$k^4-4k^3-4k^2+16k$$ делится на $$384$$; б) $$k^5-5k^3+4k$$ делится на $$120$$.