Упр.872 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 872. Докажите, что если A+B+C=0, то A^3+B^3+C^3=3ABC.

Из условия имеем:

$$A+B+C=0.$$

Тогда

$$A=-(B+C).$$

Рассмотрим сумму кубов:

$$ A^3+B^3+C^3=-(B+C)^3+B^3+C^3. $$

Раскроем скобки:

$$ -(B^3+3B^2C+3BC^2+C^3)+B^3+C^3. $$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ -3B^2C-3BC^2=-3BC(B+C). $$

Так как $$B+C=-A,$$ то

$$ -3BC(B+C)=3ABC. $$

Следовательно,

$$A^3+B^3+C^3=3ABC.$$

Ответ

$$A^3+B^3+C^3=3ABC.$$