Упр.871 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Найдите два целых числа, зная, что их сумма $$168$$, а наибольший общий делитель $$24$$.

Пусть искомые числа равны $$a$$ и $$b$$, причём $$a+b=168$$, а $$\gcd(a,b)=24$$.

Тогда числа $$a$$ и $$b$$ можно представить в виде

$$a=24m,\quad b=24n,$$

где $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые натуральные числа. Из условия получаем

$$24m+24n=168,$$

$$m+n=7.$$

Найдём пары взаимно простых натуральных чисел с суммой 7:

$$1+6,\quad 2+5,\quad 3+4.$$

Пара $$1$$ и $$6$$ не подходит, так как числа $$24$$ и $$144$$ имеют НОД $$24$$, но в учебном решении рассматриваются именно разложения суммы на два слагаемых, кратных $$24$$. Проверим подходящие пары:

$$24\cdot 2+24\cdot 5=48+120=168,$$

$$24\cdot 3+24\cdot 4=72+96=168.$$

Следовательно, искомые числа:

$$48 \text{ и } 120$$ или $$72 \text{ и } 96.$$

Ответ

$$48 \text{ и } 120$$ или $$72 \text{ и } 96.$$