Упр.870 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 870. Сумма двух натуральных чисел больше 360, но меньше 400. Наибольший общий делитель этих чисел — 32. Найдите эти числа, если ни одно из них не является делителем другого.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — искомые натуральные числа, причём $$a+b$$ больше $$360$$, но меньше $$400$$, а $$\gcd(a,b)=32$$.

Так как наибольший общий делитель чисел равен $$32$$, то оба числа делятся на $$32$$. Следовательно, их сумма тоже делится на $$32$$:

$$360<a+b<400$$

$$\frac{360}{32}<\frac{a+b}{32}<\frac{400}{32}$$

$$11{,}25<\frac{a+b}{32}<12{,}5$$

Значит,

$$\frac{a+b}{32}=12,$$

откуда

$$a+b=384.$$

Пусть

$$a=32x,\quad b=32y,$$

где $$\gcd(x,y)=1$$. Тогда

$$32x+32y=384,$$

$$x+y=12.$$

Так как ни одно из чисел не является делителем другого, то одно из чисел должно иметь множитель, которого нет у другого. Подходит разложение

$$12=5+7.$$

Тогда

$$a=32\cdot 5=160,\quad b=32\cdot 7=224.$$

Проверка: $$160+224=384$$, $$\gcd(160,224)=32$$, и ни одно число не делит другое.

Ответ

$$160,\ 224$$