Упр.866 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 866. Найдите наименьшее натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом, а при умножении на 3 — кубом целого числа.

Пусть искомое число равно $$n$$.

Если при умножении на $$3$$ число становится кубом целого числа, то в разложении $$3n$$ на простые множители все показатели степеней должны делиться на $$3$$.

Если при умножении на $$2$$ число становится квадратом целого числа, то в разложении $$2n$$ все показатели степеней должны быть чётными.

Возьмём наименьшее число, удовлетворяющее обоим условиям. Тогда в разложении $$n$$ должны входить множители так, чтобы:

• после умножения на $$3$$ получались степени, кратные $$3$$;
• после умножения на $$2$$ получались чётные степени.

Подходит число

$$n=2^2\cdot 3^2=36.$$

Проверим:

$$2n=2\cdot 36=72=2^3\cdot 3^2,$$

это не квадрат. Значит, нужно взять большее число, чтобы показатели степеней в $$2n$$ стали чётными.

Пусть

$$n=2^3\cdot 3^2=72.$$

Тогда

$$2n=2\cdot 72=144=12^2,$$

а

$$3n=3\cdot 72=216=6^3.$$

Оба условия выполнены, и это наименьшее такое число.

Ответ

$$72$$