Упр.865 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 865. Докажите, что если В — целое число, то число B^2(B^2 — 1) делится на 4.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$B$$ — чётное число, то $$B=2k$$, где $$k$$ — целое число. Тогда

   $$B^2=(2k)^2=4k^2.$$

   Значит, число $$B^2(B^2-1)$$ делится на $$4$$, так как множитель $$B^2$$ кратен $$4$$.

2. Если $$B$$ — нечётное число, то $$B=2k-1$$, где $$k$$ — целое число. Тогда

   $$B^2-1=(2k-1)^2-1=4k^2-4k+1-1=4(k^2-k).$$

   Следовательно, множитель $$B^2-1$$ делится на $$4$$, а значит, и произведение $$B^2(B^2-1)$$ делится на $$4$$.

В обоих случаях произведение $$B^2(B^2-1)$$ делится на $$4$$.

Ответ

$$B^2(B^2-1)$$ делится на $$4$$ при любом целом $$B$$.