Упр.864 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 864. Докажите, что если в трёхзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.

Пусть трёхзначное число имеет вид $$\overline{abb}$$, где $$a$$ — первая цифра, $$b$$ — две последние одинаковые цифры.

Тогда сумма цифр этого числа равна $$a+b+b=a+2b$$ и по условию делится на 7.

Запишем само число:

$$\overline{abb}=100a+10b+b=100a+11b.$$

Вычтем из него удвоенную сумму цифр:

$$\overline{abb}-2(a+2b)=100a+11b-2a-4b=98a+7b=7(14a+b).$$

Значит, разность $$\overline{abb}-2(a+2b)$$ делится на 7. Но число $$2(a+2b)$$ тоже делится на 7, так как $$a+2b$$ делится на 7 по условию.

Следовательно, и само число $$\overline{abb}$$ делится на 7.

Ответ

Число делится на 7.