Упр.863 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 863. Докажите, что если А — любое нечётное число, то число A^2-1 делится на 8.

Пусть $$A$$ — любое нечётное число. Тогда его можно представить в виде

$$A=2k+1,$$

где $$k$$ — целое число.

Тогда

$$ A^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k(k+1). $$

Произведение $$k(k+1)$$ делится на $$2$$, так как числа $$k$$ и $$k+1$$ — последовательные, значит одно из них чётное. Следовательно,

$$k(k+1)=2m$$

для некоторого целого $$m$$.

Тогда

$$ A^2-1=4\cdot 2m=8m, $$

то есть число $$A^2-1$$ делится на $$8$$.

Ответ

$$A^2-1$$ делится на $$8$$.