Упр.863 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$A$$ — любое нечётное число, то число $$A^2-1$$ делится на $$8$$.

Пусть $$A$$ — любое нечётное число. Тогда его можно представить в виде

$$A=2k+1,$$

где $$k$$ — целое число.

Тогда

$$A^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k(k+1).$$

Произведение $$k(k+1)$$ делится на $$2$$, так как числа $$k$$ и $$k+1$$ — последовательные, значит одно из них чётное. Следовательно,

$$k(k+1)=2m$$

для некоторого целого $$m$$.

Тогда

$$A^2-1=4\cdot 2m=8m,$$

то есть число $$A^2-1$$ делится на $$8$$.

Ответ

$$A^2-1$$ делится на $$8$$.