Упр.862 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом целом значении $$k$$ число $$k^3+3k^2+2k$$ делится на $$6$$.

Преобразуем выражение:

$$k^3+3k^2+2k=k(k^2+3k+2)=k(k+1)(k+2).$$

Получили произведение трёх последовательных целых чисел. Среди любых трёх последовательных целых чисел одно обязательно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Значит, их произведение делится на $$2\cdot 3=6$$.

Следовательно, при любом целом значении $$k$$ число $$k^3+3k^2+2k$$ делится на $$6$$.

Ответ

$$k^3+3k^2+2k$$ делится на $$6$$ при любом целом $$k$$.