Упр.860 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 860. Старинная задача (Индия, IV в.). Найдите сумму кубов первых n натуральных чисел. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 nikol9 860 95

Обозначим

$$S=1^3+2^3+\dots+n^3.$$

Воспользуемся формулой суммы квадратов:

$$1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}.$$

Рассмотрим разность соседних чисел в четвёртой степени:

$$n^4-(n-1)^4=n^4-\left(n^4-4n^3+6n^2-4n+1\right)=4n^3-6n^2+4n-1.$$

Сложим такие равенства для $1,2,\dots,n$:

$$1^4=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1,$$

$$2^4-1^4=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1,$$

$$\dots$$

$$n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1.$$

Тогда

$$n^4=4(1^3+2^3+\dots+n^3)-6(1^2+2^2+\dots+n^2)+4(1+2+\dots+n)-n.$$

Подставим известные формулы:

$$n^4=4S-6\cdot \frac{n(2n+1)(n+1)}{6}+4\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n.$$

Упростим:

$$n^4=4S-n(2n+1)(n+1)+2n(n+1)-n,$$

$$4S=n^4+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n,$$

$$4S=n^4+n(n+1)(2n-1)+n.$$

После преобразований получаем:

$$4S=n^2(n+1)^2.$$

Следовательно,

$$S=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$

Ответ

$$\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$