Упр.859 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. а) Найдите сумму квадратов первых $$n$$ чётных чисел. б) Найдите сумму квадратов первых $$n$$ нечётных чисел.

Воспользуемся формулой суммы квадратов первых $$n$$ натуральных чисел:

$$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

а) Сумма квадратов первых $$n$$ чётных чисел:

$$2^2+4^2+6^2+\dots+(2n)^2=2^2\left(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2\right).$$

Тогда

$$2^2\left(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2\right) =4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}.$$

б) Сумма квадратов первых $$n$$ нечётных чисел:

$$1^2+3^2+5^2+\dots+(2n-1)^2.$$

Представим её как разность:

$$(1^2+2^2+3^2+\dots+(2n)^2)-(2^2+4^2+6^2+\dots+(2n)^2).$$

Тогда

$$\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}-\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} = \frac{n(2n+1)(4n+1)}{3}-\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{n(2n+1)\bigl((4n+1)-2(n+1)\bigr)}{3} = \frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$$; б) $$\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$.