Упр.858 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача Архимеда (287—212 гг. до н. э.). Найдите сумму квадратов первых $$n$$ натуральных чисел.

Обозначим искомую сумму через $$S=1^2+2^2+\dots+n^2.$$

Рассмотрим разность соседних кубов:

$$k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1.$$

Просуммируем это равенство при $$k=1,2,\dots,n$$:

$$(1^3-0^3)+(2^3-1^3)+\dots+(n^3-(n-1)^3)=\sum_{k=1}^n(3k^2-3k+1).$$

Левая часть телескопируется:

$$n^3=3\sum_{k=1}^n k^2-3\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n 1.$$

Подставим $$S=\sum_{k=1}^n k^2$$, а также формулы

$$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^n 1=n.$$

Тогда

$$n^3=3S-3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n.$$

Отсюда

$$3S=n^3+\frac{3n(n+1)}{2}-n =\frac{2n^3+3n^2+n}{2} =\frac{n(2n^2+3n+1)}{2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}.$$

Следовательно,

$$S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Ответ

$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$