Упр.858 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 858. Задача Архимеда (287—212 гг. до н.э.). Найдите сумму квадратов первых n натуральных чисел.

Обозначим искомую сумму через $$S=1^2+2^2+\dots+n^2.$$

Рассмотрим разность соседних кубов:

$$ k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1. $$

Просуммируем это равенство при $$k=1,2,\dots,n$$:

$$ (1^3-0^3)+(2^3-1^3)+\dots+(n^3-(n-1)^3)=\sum_{k=1}^n(3k^2-3k+1). $$

Левая часть телескопируется:

$$ n^3=3\sum_{k=1}^n k^2-3\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n 1. $$

Подставим $$S=\sum_{k=1}^n k^2$$, а также формулы

$$ \sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^n 1=n. $$

Тогда

$$ n^3=3S-3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n. $$

Отсюда

$$ 3S=n^3+\frac{3n(n+1)}{2}-n =\frac{2n^3+3n^2+n}{2} =\frac{n(2n^2+3n+1)}{2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}. $$

Следовательно,

$$ S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. $$

Ответ

$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$