Упр.848 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 848. Докажите, что если некоторое число при делении на 9 даёт остаток 1 или 8, то квадрат этого числа при делении на 9 даёт остаток 1.

Пусть число при делении на 9 даёт остаток 1. Тогда его можно записать в виде $$a=9n+1$$, где $$n$$ — целое число.

Найдём квадрат этого числа:

$$ a^2=(9n+1)^2=81n^2+18n+1. $$

Так как $$81n^2+18n$$ делится на 9, то при делении $$a^2$$ на 9 остаток равен 1.

Теперь пусть число при делении на 9 даёт остаток 8. Тогда оно имеет вид $$b=9n+8$$.

Возведём его в квадрат:

$$ b^2=(9n+8)^2=81n^2+144n+64. $$

Представим это выражение так:

$$ b^2=9(9n^2+16n+7)+1. $$

Значит, при делении $$b^2$$ на 9 остаток тоже равен 1.

Итак, если некоторое число при делении на 9 даёт остаток 1 или 8, то его квадрат при делении на 9 даёт остаток 1.

Ответ

Доказано: квадрат числа, дающего при делении на 9 остаток 1 или 8, при делении на 9 даёт остаток 1.