Упр.848 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если некоторое число при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$ или $$8$$, то квадрат этого числа при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$.

Пусть число при делении на 9 даёт остаток 1. Тогда его можно записать в виде $$a=9n+1$$, где $$n$$ — целое число.

Найдём квадрат этого числа:

$$a^2=(9n+1)^2=81n^2+18n+1.$$

Так как $$81n^2+18n$$ делится на 9, то при делении $$a^2$$ на 9 остаток равен 1.

Теперь пусть число при делении на 9 даёт остаток 8. Тогда оно имеет вид $$b=9n+8$$.

Возведём его в квадрат:

$$b^2=(9n+8)^2=81n^2+144n+64.$$

Представим это выражение так:

$$b^2=9(9n^2+16n+7)+1.$$

Значит, при делении $$b^2$$ на 9 остаток тоже равен 1.

Итак, если некоторое число при делении на 9 даёт остаток 1 или 8, то его квадрат при делении на 9 даёт остаток 1.

Ответ

Доказано: квадрат числа, дающего при делении на 9 остаток 1 или 8, при делении на 9 даёт остаток 1.