Упр.847 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 847. Докажите, что произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть равным 25k+1 ни при каком натуральном k.

Пусть два последовательных натуральных числа равны $$n$$ и $$n+1$$. Тогда их произведение:

$$n(n+1)=n^2+n.$$

Предположим, что это произведение равно числу вида $$25k+1$$, где $$k$$ — натуральное число. Тогда

$$n^2+n=25k+1,$$

или

$$n^2+n-(25k+1)=0.$$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $$n$$. Его дискриминант равен

$$D=1-4\cdot (-(25k+1))=1+100k+4=100k+5.$$

Но число $$100k+5$$ не делится на $$5$$, а значит, не может быть квадратом целого числа. Следовательно, дискриминант не является полным квадратом, и уравнение не имеет натурального решения $$n$$.

Значит, произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть равно числу вида $$25k+1$$ ни при каком натуральном $$k$$.

Ответ

Произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть равно $$25k+1$$ ни при каком натуральном $$k$$.